Números Primos - M.D.C e M.M.C.

Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade.  O estudo sobre os números Primos ganha um desenvolvimento particular na Grécia. Eratóstenes (por volta de 276 a.C. a 194 a.C.) e Euclides (século III a.C.?) são os responsáveis por este desenvolvimento. Eratóstenes desenvolveu um método de 'separar' os números Primos, menores de 100, dos números não-primos. Os números não-primos diferentes de 1 receberam o nome de números compostos, uma vez que se compõem do produto de números Primos.           Crivo de Eratóstenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 O método consiste em se riscar (daí o nome crivo) primeiro o número 1, que não é primo, em seguida os múltiplos de 2, depois os múltiplos de 3, depois os de 5 e assim por diante. Os números que restarem são primos.  Observe que o número 1 não é Primo nem composto e que o número 2 é o  único número Primo que é par. Note ainda que o conjunto dos números Primos é infinito. Os números 7, 19 e 47, como vemos no Crivo de Eratóstenes, são  números Primos pois só têm como divisores eles mesmos e o 1 (Figura 1, acima).  RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo. Exemplos: O número 43 é primo?    ·         43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1    ·         43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1    ·         43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3    ·         43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1 Observe que;  Nenhuma dessas divisões é exata.    ·         O quociente 6 é menor que o divisor 7.    ·         Logo 43 é um número primo. EXERCÍCIOS                  1. Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos (P) e quais são compostos (C): 12 ....................(   )   13 ....................(   )    14 ....................(   ) 15 ....................(   )   16 ....................(   )    17 ....................(   ) 18 ....................(   )   19 ....................(   )    20 ....................(   ) 2. Qual é o menor número primo?........ 3. Quantos e quais são os números primos?........ 4. Quais são os dez primeiros números primos?........ 5. Classifique como verdadeiro ou falso: (    )  Todos os números primos são ímpares (    ) Existem números que são primos e compostos. 6. Assinale os números primos abaixo . 31       97       91       45       36       73 7. Responda e justifique: a) O zero (0) é número primo? ........ b) O um (1) é número primo? ........ c) Existe número par que é primo? ........ d) Existe número natural terminado em 5 que é primo (excluindo  o próprio 5?........ Álgebra Básica Fatoração em Números Primos O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos. O que significa fatorar? O que é um fator? Quando aprendemos a multiplicar, também aprendemos o que é um fator. Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:                                       23 (PRIMEIRO FATOR)                                   X  3 (SEGUNDO FATOR)                                      69 (PRODUTO) Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos: Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2 9 = 3 · 3 32 = 16 · 2 90 = 15 · 3 · 2 Todos estes são exemplos de fatoração. Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos. Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no  número que deseja-se fatorar. Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos. Para fatorar um número em fatores primos começamos escrevendo o número a fatorar  com uma barra vertical ao lado: Veja os exemplos abaixo: 81 | 3 27 | 3   9 | 3   3 | 3 1 | 126  | 2   63  | 3   21  | 3     7  | 7  1  | 147  | 3   49  | 7     7  | 7  1  | 1365  | 3   455  | 5     91  | 7       13  | 13    1  | Com isso achamos a fatoração em primos destes números: Número Fatoração em primos Fatoração em Primos utilizando Potências 81 3 · 3 · 3 · 3 34 126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 32 · 7 147 3 · 7 · 7 3 · 72 1365 3 · 5 · 7 · 13 MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.  Exemplos:  MDC(12,36)  Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12  Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36  Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.  MDC(12,24,54)  Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18  Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8,  12, 24  Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54  O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6. PROCESSO PRÁTICO PARA A OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM  MDC(12,36)    12     36  | 2   6     18  | 2   3     9   | 3   1      3   | 3   1      1   |                                   Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para  descobrirmos o máximo divisor comum.  2 x 2 x 3 = 12 MDC(12,36) = 12       MDC(70,90,120)        70     90     120  | 2                                35     45       60  | 2                                35     45       30  | 2                                35     45       15  | 3                                35     15        5   | 3                                35      5         5   | 5                                 7       1         1   | 7                                 1       1         1   | 2 x 5 = 10 MDC (70, 90, 120) = 10 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24 , 30,... Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C.             Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.  Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:     1º) decompomos os números em fatores primos     2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:                    12   =  2  x  2  x  3                    30   =  2  x  3   x  5         m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5         Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:         12 = 22  x  3         30 = 2   x  3  x  5         m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA           15,  24,  60 | 2           15,  12,  15 | 2           15,   6,   15 | 2           15,    3,  15 | 3              5,   1,   5  | 5              1,   1,   1, |  Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,  num dispositivo como mostrado acima. Os produtos dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.  Fazemos então o cálculo:  M.M.C.(15,24,60) = 2x2x2x3x5 = 120 NOTE QUE MÚLTIPLO DE É O MESMO QUE SER DIVISÍVEL POR

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual a 1 (um), dizemos que eles são primos entre si.

Exemplos:

a)    4 e 9 são primos entre si, pois o m.d.c. (4,9) = 1

b)    8 e 15 são primos entre si, pois o m.d.c. (8,15) = 1 

EXERCÍCIOS

01. Decomponha os números em fatores primos:

180          220          320          308          605             616 

1008        1210          2058        3125         4225           5040

02. Qual é o número cuja fatoração é:

a) 2 . 2. 3 . 5 . 7

b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.

c) 2 . 3 . 5 . 7

d) 5 . 5 . 11 . 13

03. Escreva o conjunto dos divisores de 8, 9, 10, 12,15 e 20:

a) D8

b) D9

c) D10

d) D12

e) D12

f) D15

g) D20

  

        04.  Baseado nos resultados do exercício anterior, determine:

 a)    m.d.c.(9,12)

     b)    m.d.c.(8,20)

     c)    m.d.c.(10,15)

     d)    m.d.c.(8,12)

     e)    m.d.c.(9,15)

     f)     m.d.c.(10,20)

05. Calcule:
a)mmc(2,3)
b)mmc(3,5)
c)mmc(2,3,5)
d)mmc(3,4,5)
e)mmc(2,4,5)
f)mmc(3,5,6)
g)mmc(5,8,9)
h)mmc(12,15,18)
i)mmc(12,20,24)
j)mmc(20,40,50)

06. Dois viajantes de uma empresa saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias e o segundo de 18 em 18 dias. Depois de quantos dias eles saem juntos novamente?

07. Três ônibus partem de uma rodoviária no mesmo dia. O primeiro parte de 8 em 8 dias, o segundo de 12 em 12 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Depois de quantos dias, eles partirão juntos novamente?

08. Calcule:

a)  m.d.c. (4,7)  -

b)  m.d.c. (6,8)  -

c)   m.d.c. (12,5)  -

d)  m.d.c. (6,9)  -

e)  m.d.c. (12,14)  -

f)   m.d.c. (18,25)  -

9. Quais os pares de números do exercício anterior que são primos entre si?

10. Determine:

a) m.d.c. (25,10) -
b) m.d.c. (48,18) -

c) m.d.c. (30,18) -

d) m.d.c. (60,36) -

e) m.d.c. (120,75) -

f)  m.d.c. (336,186) -

g) m.d.c. (77,280) -

h) m.d.c. (450,348) -

i)  m.d.c. (30,15) -

j)  m.d.c. (80,48) -

k) m.d.c. (85,75) -

l)  m.d.c. (69,15) -

m)m.d.c. (3,15,12) -

n) m.d.c. (20,6,14) -

o) m.d.c. (25,10,20) -

p) m.d.c. (30,45,75) -

q) m.d.c. (4,8,9) -

r)  m.d.c. (12,16,18) -

s)  m.d.c. (15,45,75) -

t)  m.d.c. (28,70,56,140) -

11. Uma escola com mais de 500 alunos distribuirá:
·         1800 folhas de papel azul

     ·         1200 folhas de papel verde

     ·         3000 folhas de papel amarelo

Cada aluno deverá receber o mesmo número de folhas de cada cor e não sobrará nenhuma. Pergunta-se:

    a)  Quantos são os alunos?

    b)  Quantas folhas receberá cada aluno?

12. O número 8 e o número 25 são primos? São primos entre si?

Exercícios do site do Profº Flor

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