Múltiplos e Divisores de um Número

Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 

O número 10 é múltiplo de 2; 12 é múltiplo de 3; 15 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo de 2; e 15 não é múltiplo de 4.

Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 

M(2) = {0,2,4,6,8,...}.
M(5) = {0,5,10,15,20,...} 

Para lembrar:

O conjunto dos múltiplos de um número Natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.

Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} = {0,3,6,9,12,15,18,...} 

Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.

No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente.Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 

D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 

Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 

Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo de outro, sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os números são grandes.
- Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns: 

Divisibilidade por 2 

Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse conjunto terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o algarismo das unidades for par. 

Exemplo:

Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 416 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par. Os números 7, 15, 201, 1 483, 186 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em algarismo par.

Divisibilidade por 3 

Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,...}. Repare que a soma dos algarismos de todos estes números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos é múltiplo de 3. 

Exemplo:

Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 21, mas pode acontecer de não sabermos se 21 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o número 21, em que 2 + 1 = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 21 é divisível por 3, isto é, 21 é múltiplo de 3 e, conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3. 

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando terminado em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos dígitos da direita são divisíveis por 4.

Exemplo:

100 : 4 = 25 e resto 0. → número terminado em 00
144 : 4 = 36 e resto 0. → o número formado pelos dois últimos dígitos da direita é divisível por 4

Divisibilidade por 5 

Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,...}.

É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando termina em zero ou em 5. 

Exemplo:

Os números 20, 210, 2 105 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o terceiro em 5. 

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplo:

* 5214 é divisível por 6 porque é divisível por 2 (par) e por 3 (5+2+1+4=12)

* 8036  não é divisível por 6 porque é divisível por 2 (par) mas não é divisível por 3 (8+0+3+6=17)

Divisibilidade por 7

Devemos pegar o último algarismo do número e multiplicar por 2, subtraindo do restante do número. Caso o resultado seja divisível por 7, o número também será. Caso não seja necessária a identificação da divisibilidade, repita a operação até que seja possível.

Exemplo:

1008

1008 – 8 x 2 → 100 – 16 → 84
84 é divisível por 7, então 1008 é divisível por 7.

4102
4102 – 2 x 2 → 410 – 4 → 406
406 – 6 x 2 → 40 – 12 → 28
28 é divisível por 7, então 4102 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8
Um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou os três últimos algarismos da direita forem divisíveis por 8.

Exemplo:

7896
896:8 = 112
O número 7896 é divisível por 8, pois os três últimos algarismos da direita é divisível por 8

6000 é divisível por 8, pois termina em 000.

Divisibilidade por 9 

Dado M(9) = {0,9,18,27,36,45,...} verificamos uma característica semelhante ao critério de divisibilidade por 3. Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo de 9. 

Exemplo:

O número 14 985 é divisível por 9? 

1 + 4 + 9 + 8 + 5 = 27

Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27: 

2 + 7 = 9

Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 14 985 é divisível por 9. 

Divisibilidade por 10

Todo número terminado em 0 é divisível por 10.

Exemplo:

100:10 = 10 e resto 0. → número terminado em 0
1000:10 = 100 e resto 0.