Um número Natural é um número Primo quando
só tem por divisores ele mesmo e a unidade.
O estudo sobre os números Primos ganha um
desenvolvimento particular na Grécia.
Eratóstenes (por volta de 276 a.C. a 194 a.C.) e Euclides (século III a.C.?) são os responsáveis por este desenvolvimento. Eratóstenes desenvolveu um método de 'separar' os números Primos, menores de 100, dos números não-primos. Os números não-primos diferentes de 1 receberam o nome de números compostos, uma vez que se compõem do produto de números Primos.
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100
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O método consiste em se riscar (daí o nome crivo) primeiro o número 1, que não é
primo, em seguida os múltiplos de 2, depois os múltiplos de 3, depois os de 5 e
assim por diante. Os números que restarem são primos.
Observe que o número 1 não é Primo nem composto e que o número 2 é o
único número Primo que é par. Note ainda que o conjunto dos números Primos é
infinito. Os números 7, 19 e 47, como vemos no Crivo de Eratóstenes, são
números Primos pois só têm como divisores eles mesmos e o 1 (Figura 1, acima).
RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO
Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos:
O número 43 é primo?
· 43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1
· 43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1
· 43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3
· 43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1
Observe que;
Nenhuma dessas divisões é exata.
· O quociente 6 é menor que o divisor 7.
· Logo 43 é um número primo.
EXERCÍCIOS
1. Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos (P) e quais são compostos (C):
12 ....................( ) 13 ....................( ) 14 ....................( )
15 ....................( ) 16 ....................( ) 17 ....................( )
18 ....................( ) 19 ....................( ) 20 ....................( )
2. Qual é o menor número primo?........
3. Quantos e quais são os números primos?........
4. Quais são os dez primeiros números primos?........
5. Classifique como verdadeiro ou falso:
( ) Todos os números primos são ímpares
( ) Existem números que são primos e compostos.
6. Assinale os números primos abaixo .
31 97 91 45 36 73
7. Responda e justifique:
a) O zero (0) é número primo? ........
b) O um (1) é número primo? ........
c) Existe número par que é primo? ........
d) Existe número natural terminado em 5 que é primo (excluindo
o próprio 5?........
Fatoração em Números Primos
O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da
Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos
todos estes tópicos juntos.
O que significa fatorar? O que é um fator?
Quando aprendemos a multiplicar, também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:
23 (PRIMEIRO FATOR)
X 3 (SEGUNDO FATOR)
69 (PRODUTO)
Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que
resulte o número a ser fatorado. Exemplos:
Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2
Todos estes são exemplos de fatoração.
Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.
Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no
número que deseja-se fatorar.
Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos,
pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente
fatoração, e não fatoração em números primos.
Para fatorar um número em fatores primos começamos escrevendo o número a fatorar
com uma barra vertical ao lado:
Veja os exemplos abaixo:
81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 |
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126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |
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147 | 3
49 | 7
7 | 7
1 |
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1365 | 3
455 | 5
91 | 7
13 | 13
1 |
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Com isso achamos a fatoração em primos destes números:
Número
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Fatoração
em primos
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Fatoração em Primos
utilizando Potências
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81
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3 · 3 · 3 · 3
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34
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126
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2 · 3 · 3 · 7
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2 · 32 · 7
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147
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3 · 7 · 7
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3 · 72
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1365
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3 · 5 · 7 · 13
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MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.
Exemplos:
MDC(12,36) Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,
18, 36 Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.
MDC(12,24,54) Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 24 Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54 O maior divisor comum a 12, 24 e 54
é o 6.
PROCESSO PRÁTICO PARA A OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM
MDC(12,36)
12 36 | 2
6 18 | 2
3 9 | 3
1 3 | 3
1 1 |
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao
mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para
descobrirmos o máximo divisor comum.
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12
MDC(70,90,120) 70 90 120 | 2
35 45 60 | 2
35 45 30 | 2
35 45 15 | 3
35 15 5 | 3
35 5 5 | 5
7 1 1 | 7
1 1 1 |
2 x 5 = 10
MDC (70, 90, 120) = 10
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12
de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
- PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,
num dispositivo como mostrado acima. Os produtos dos fatores primos
que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.
Fazemos então o cálculo:
M.M.C.(15,24,60) = 2x2x2x3x5 = 120
NOTE QUE MÚLTIPLO DE É O MESMO QUE SER DIVISÍVEL POR
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