Frações - Exercícios

Créditos profª Inez

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ATIVIDADES - Múltiplos e Divisores

01. Coloque C se for correto e E se estiver errado:

958 é múltiplo de 3     (    )

55 é múltiplo de 8       (    )

70 é múltiplo de 2       (    )

25 é múltiplo de 5       (    )

02. Escreva ao lado, colocando vírgula:

* Os 5 primeiros múltiplos de 10 ........

* Os 5 primeiros múltiplos de 18 ........

* Os 5 primeiros múltiplos de 45........

* Os 5 primeiros múltiplos de 50........

03. Responda e dê exemplos ou contra-exemplos (quando a resposta for negativa).

a) Os divisores de um número par são todos pares?........

b) Os divisores de um número ímpar são todos ímpares?........

c) Os múltiplos de um número par são todos pares?........

d) Os múltiplos de um número ímpar são todos ímpares?........

04.  Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

a.      5 × (   ) = 20

b.      (   ) × 3 = 18

c.       4 × (   ) = 10

d.      (   ) ÷ 2 = 8

e.      3 ÷ (   ) = 4

f.        (   ) ÷ 3 = 4 

05. Escreva as seguintes sequências:

a) Múltiplos de 14 ð M14 =

b) M23 =

c) M40 =  

d) Divisores de 40 ðD40 =

e) D16 =

f) M16 =  

g) M35 = 

h) D35 =      

i) M29 =      

06. Responda:

a) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 16? Por quê?........

b) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 22? Por quê?........

c) 154 é múltiplo comum de 16 e 22? Justifique......... 

07. Em um jogo para duas ou mais pessoas são distribuídas igualmente entre os participantes 24 fichas vermelhas e 40 fichas amarelas; nenhuma ficha pode sobrar.

a) Esse jogo pode ser disputado por 3 participantes? Por quê?........

b) Esse jogo pode ser disputado por 4 participantes? Por quê?........

c) Qual é o número máximo de pessoas que podem participar desse jogo?........ 

08. No início do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promoção para vender 3180 cadernos que estão no estoque. O gerente pretende fazer pacotes com a mesma quantidade de cadernos sem que sobrem cadernos. É possível que cada pacote contenha: 

(   ) 2 cadernos? (   ) 3 cadernos? (   ) 4 cadernos?  (   ) 5 cadernos?

(   ) 6 cadernos? (   ) 7 cadernos? (   ) 9 cadernos?  (   ) 10 cadernos?

09. Classifique em Verdadeiro(V) ou Falso (F):

(   ) 30 é divisível por 6              (   ) 70 é divisível por 23

(   ) 16 é divisível por 3              (   ) 64 é divisível por 16

(   ) 168 é múltiplo de 4              (   ) 2.079 é múltiplo de 3

(   ) 672 é múltiplo de 10            (   ) 2.640 é múltiplo de 21

10. Marque com um X a opção correta.

a) Qual dos números abaixo é múltiplo de 12 e divisível por 5?

(   ) 204                    (   ) 180                     (   ) 190

b) Qual dos números abaixo é divisível por 3 não é múltiplo de 4?

(   ) 372                    (   ) 328                   (   ) 354

11. Considere os números a seguir.

        6.930   24.000   680   4.032   72.042   6.664

Descubra quais são divisíveis por:

a)5 -

b)6 -

c)8 -

12.Verifique se os números abaixo são divisíveis por 2,3,4,5,6,8,9 ou 10.

a) 56.810 -
b) 34.192 -
c) 14.241 -
d) 10.224 -
e) 42.345 -
f) 11.820 -

13. Responda.

a) Qual é o maior número natural com dois algarismos que é divisível por 2 e por 3? .......
b) Qual é o menor número natural entre 40 e 50 divisível por 6? ........
c) Qual é o menor número natural de três algarismos que é divisível tanto por 3 quanto por 4?........
d) Qual é o menor número natural divisível por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 8 e por 9?........
e) Qual é o menor número natural com quatro algarismos que é divisível por 5, por 6, por 8 e por 9?........

14. Leia as afirmações, assinale falso ou verdadeiro e corrija-as quando necessário.

(    ) 24 é o menor número natural diferente de zero divisível por 3 e por 4.........
(    ) 72 é o menor número natural diferente de zero divisível por 3 e por 4.........
(    ) 984 é o menor número natural com três algarismos que é divisível por 2 e por 3.........
(    ) 9.991 é o maior número natural com quatro algarismos que é divisível por 6 e por 9.........

15. Dos números abaixo, quais deles são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.

a)     16 ð

b)     128 ð

c)     287 ð

d)     1006 ð

e)     43 ð

f)     265 ð

g)     480 ð

h)     4785 ð

i)       76 ð

16. Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5 menores que 37?..........

17. Qual o menor múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 500? E o maior? ..........

18. Qual é o menor e maior divisor de 14? ..........

19. Qual dos números abaixo é divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo?

1277          5819          5336          2556

20. Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo?

160           180            225             230

21. Qual é o menor número que se deve adicionar a 371, para se obter um número divisível por 6? ..........

DESAFIOS

22. Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se  esse número é divisível por 4, então qual é o maior valor que A pode assumir? .....

23. Seja o número 51b8. Quais algarismos podemos colocar no lugar da letra b para que o número seja divisível por 3? .......

24. Seja o número 3s76. Qual algarismo podemos colocar no lugar da letra s para que o número seja divisível por 9? ........

Números Primos - M.D.C e M.M.C.

Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade.  O estudo sobre os números Primos ganha um desenvolvimento particular na Grécia. Eratóstenes (por volta de 276 a.C. a 194 a.C.) e Euclides (século III a.C.?) são os responsáveis por este desenvolvimento. Eratóstenes desenvolveu um método de 'separar' os números Primos, menores de 100, dos números não-primos. Os números não-primos diferentes de 1 receberam o nome de números compostos, uma vez que se compõem do produto de números Primos.           Crivo de Eratóstenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 O método consiste em se riscar (daí o nome crivo) primeiro o número 1, que não é primo, em seguida os múltiplos de 2, depois os múltiplos de 3, depois os de 5 e assim por diante. Os números que restarem são primos.  Observe que o número 1 não é Primo nem composto e que o número 2 é o  único número Primo que é par. Note ainda que o conjunto dos números Primos é infinito. Os números 7, 19 e 47, como vemos no Crivo de Eratóstenes, são  números Primos pois só têm como divisores eles mesmos e o 1 (Figura 1, acima).  RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo. Exemplos: O número 43 é primo?    ·         43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1    ·         43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1    ·         43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3    ·         43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1 Observe que;  Nenhuma dessas divisões é exata.    ·         O quociente 6 é menor que o divisor 7.    ·         Logo 43 é um número primo. EXERCÍCIOS                  1. Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos (P) e quais são compostos (C): 12 ....................(   )   13 ....................(   )    14 ....................(   ) 15 ....................(   )   16 ....................(   )    17 ....................(   ) 18 ....................(   )   19 ....................(   )    20 ....................(   ) 2. Qual é o menor número primo?........ 3. Quantos e quais são os números primos?........ 4. Quais são os dez primeiros números primos?........ 5. Classifique como verdadeiro ou falso: (    )  Todos os números primos são ímpares (    ) Existem números que são primos e compostos. 6. Assinale os números primos abaixo . 31       97       91       45       36       73 7. Responda e justifique: a) O zero (0) é número primo? ........ b) O um (1) é número primo? ........ c) Existe número par que é primo? ........ d) Existe número natural terminado em 5 que é primo (excluindo  o próprio 5?........ Álgebra Básica Fatoração em Números Primos O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos. O que significa fatorar? O que é um fator? Quando aprendemos a multiplicar, também aprendemos o que é um fator. Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:                                       23 (PRIMEIRO FATOR)                                   X  3 (SEGUNDO FATOR)                                      69 (PRODUTO) Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos: Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2 9 = 3 · 3 32 = 16 · 2 90 = 15 · 3 · 2 Todos estes são exemplos de fatoração. Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos. Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no  número que deseja-se fatorar. Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos. Para fatorar um número em fatores primos começamos escrevendo o número a fatorar  com uma barra vertical ao lado: Veja os exemplos abaixo: 81 | 3 27 | 3   9 | 3   3 | 3 1 | 126  | 2   63  | 3   21  | 3     7  | 7  1  | 147  | 3   49  | 7     7  | 7  1  | 1365  | 3   455  | 5     91  | 7       13  | 13    1  | Com isso achamos a fatoração em primos destes números: Número Fatoração em primos Fatoração em Primos utilizando Potências 81 3 · 3 · 3 · 3 34 126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 32 · 7 147 3 · 7 · 7 3 · 72 1365 3 · 5 · 7 · 13 MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.  Exemplos:  MDC(12,36)  Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12  Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36  Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.  MDC(12,24,54)  Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18  Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8,  12, 24  Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54  O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6. PROCESSO PRÁTICO PARA A OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM  MDC(12,36)    12     36  | 2   6     18  | 2   3     9   | 3   1      3   | 3   1      1   |                                   Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para  descobrirmos o máximo divisor comum.  2 x 2 x 3 = 12 MDC(12,36) = 12       MDC(70,90,120)        70     90     120  | 2                                35     45       60  | 2                                35     45       30  | 2                                35     45       15  | 3                                35     15        5   | 3                                35      5         5   | 5                                 7       1         1   | 7                                 1       1         1   | 2 x 5 = 10 MDC (70, 90, 120) = 10 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24 , 30,... Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C.             Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.  Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:     1º) decompomos os números em fatores primos     2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:                    12   =  2  x  2  x  3                    30   =  2  x  3   x  5         m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5         Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:         12 = 22  x  3         30 = 2   x  3  x  5         m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA           15,  24,  60 | 2           15,  12,  15 | 2           15,   6,   15 | 2           15,    3,  15 | 3              5,   1,   5  | 5              1,   1,   1, |  Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,  num dispositivo como mostrado acima. Os produtos dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.  Fazemos então o cálculo:  M.M.C.(15,24,60) = 2x2x2x3x5 = 120 NOTE QUE MÚLTIPLO DE É O MESMO QUE SER DIVISÍVEL POR

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual a 1 (um), dizemos que eles são primos entre si.

Exemplos:

a)    4 e 9 são primos entre si, pois o m.d.c. (4,9) = 1

b)    8 e 15 são primos entre si, pois o m.d.c. (8,15) = 1 

EXERCÍCIOS

01. Decomponha os números em fatores primos:

180          220          320          308          605             616 

1008        1210          2058        3125         4225           5040

02. Qual é o número cuja fatoração é:

a) 2 . 2. 3 . 5 . 7

b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.

c) 2 . 3 . 5 . 7

d) 5 . 5 . 11 . 13

03. Escreva o conjunto dos divisores de 8, 9, 10, 12,15 e 20:

a) D8

b) D9

c) D10

d) D12

e) D12

f) D15

g) D20

  

        04.  Baseado nos resultados do exercício anterior, determine:

 a)    m.d.c.(9,12)

     b)    m.d.c.(8,20)

     c)    m.d.c.(10,15)

     d)    m.d.c.(8,12)

     e)    m.d.c.(9,15)

     f)     m.d.c.(10,20)

05. Calcule:
a)mmc(2,3)
b)mmc(3,5)
c)mmc(2,3,5)
d)mmc(3,4,5)
e)mmc(2,4,5)
f)mmc(3,5,6)
g)mmc(5,8,9)
h)mmc(12,15,18)
i)mmc(12,20,24)
j)mmc(20,40,50)

06. Dois viajantes de uma empresa saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias e o segundo de 18 em 18 dias. Depois de quantos dias eles saem juntos novamente?

07. Três ônibus partem de uma rodoviária no mesmo dia. O primeiro parte de 8 em 8 dias, o segundo de 12 em 12 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Depois de quantos dias, eles partirão juntos novamente?

08. Calcule:

a)  m.d.c. (4,7)  -

b)  m.d.c. (6,8)  -

c)   m.d.c. (12,5)  -

d)  m.d.c. (6,9)  -

e)  m.d.c. (12,14)  -

f)   m.d.c. (18,25)  -

9. Quais os pares de números do exercício anterior que são primos entre si?

10. Determine:

a) m.d.c. (25,10) -
b) m.d.c. (48,18) -

c) m.d.c. (30,18) -

d) m.d.c. (60,36) -

e) m.d.c. (120,75) -

f)  m.d.c. (336,186) -

g) m.d.c. (77,280) -

h) m.d.c. (450,348) -

i)  m.d.c. (30,15) -

j)  m.d.c. (80,48) -

k) m.d.c. (85,75) -

l)  m.d.c. (69,15) -

m)m.d.c. (3,15,12) -

n) m.d.c. (20,6,14) -

o) m.d.c. (25,10,20) -

p) m.d.c. (30,45,75) -

q) m.d.c. (4,8,9) -

r)  m.d.c. (12,16,18) -

s)  m.d.c. (15,45,75) -

t)  m.d.c. (28,70,56,140) -

11. Uma escola com mais de 500 alunos distribuirá:
·         1800 folhas de papel azul

     ·         1200 folhas de papel verde

     ·         3000 folhas de papel amarelo

Cada aluno deverá receber o mesmo número de folhas de cada cor e não sobrará nenhuma. Pergunta-se:

    a)  Quantos são os alunos?

    b)  Quantas folhas receberá cada aluno?

12. O número 8 e o número 25 são primos? São primos entre si?

Exercícios do site do Profº Flor

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